TEOREMA

= Demostración del Teorema de Pitágoras =

Hace muchos años, Carmen Sessa, mi amiga y extraordinaria referente en cualquier tema que tenga que ver con la matemática, me acercó un sobre con varias demostraciones del Teorema de Pitágoras. No recuerdo de dónde las había sacado, pero ella estaba entusiasmada al ver cuántas maneras distintas había de comprobar un mismo hecho. Es más: tiempo después supe que hay un libro (The Pythagorean Proposition) que contiene 367 pruebas de este teorema y que fue reeditado en 1968. De todas formas, y volviendo a las pruebas que me había dado Carmen, hubo una que me dejó fascinado por su Se tiene un triángulo rectángulo T, de lados a, b y h. (Se llama triángulo rectángulo a un triángulo en el que uno de los ángulos es de 90 grados, también llamado ángulo recto.)

Imaginemos que el triángulo T está hecho “pegando” tres hilos. Supongamos que se le puede “cortar” el lado h, y que uno puede “estirar” los lados a y b. Con este nuevo “lado”, de longitud (a+b), fabricamos dos cuadrados iguales. Cada lado del cuadrado mide (a+b). Marcamos en cada cuadrado los lados a y b, de manera tal de poder dibujar estas figuras: Ahora, observemos en cada cuadrado cuántas veces aparece el triángulo T (para lo cual hay que marcar en un dibujo los cuatro triángulos T en cada cuadrado). Como los cuadrados son iguales, una vez que hemos descubierto los cuatro troiángulos en cada uno de ellos, la superficie que queda “libre”  en cada uno tiene que ser la misma. En el segundo cuadrado, quedan dos “cuadraditos” de superficies a2 y b2 respectivamente. Por otro lado, en el otro cuadrado, queda dibujado un “nuevo” cuadrado de área h2. Conclusión: “tiene” que ser a2+ b2= h2 que es justamente lo que queríamos probar: “en todo triángulo rectángulo se verifica que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”. En este caso, los catetos son a y b, mientras que la hipotenusa es h. ¿No es una demostración preciosa? Es sólo producto de una idea maravillosa que no requiere ninguna herramienta complicada. Sólo sentido común. Este teorema fue descubierto en una escritura en Babilonia, entre 1900 y 1600 antes de Cristo. Pitágoras vivió entre 560 y 480 antes de Cristo, pero si bien se le adjudica a él la solución del problema, no está claro si fue él o alguno de sus discípulos. E incluso esta posibilidad tampoco es necesariamente cierta. El teorema es reversible, en el sentido de que si un triángulo de lados a, by h, cumple con la ecuacióna2+ b2= h2 entonces, el triángulo tiene que ser rectángulo. Piensen que éste es un resultado muy interesante. Es que podría pasar que fuera cierto el teorema de Pitágoras para otros triángulos que no fueran rectángulos. Sin embargo, lo que dice este apartado es que la propiedad de que el cuadrado de la hipotenusa sea igual a la suma de los cuadrados de los catetos, “caracteriza” a un triángulo: lo obliga a ser rectángulo.